- Dob:8+
- Trajanje:20 min
- Zahtjevnost:Srednje
- Nered:Malen
- Nadzor:Ne
🥧 Isprobajte dok čitate
Ovaj vodič sadrži pretragu broja pi - pomaknite se niže i pronađite svoj rođendan skriven u znamenkama. Želite cijelu stranicu? Otvorite alat Pronađi rođendan u piju.
Što je pi?
Započnimo s malo povijesti. Ljudi su koristili i mjerili razne krugove još od antike. Prilikom tih mjerenja, uočili su zanimljivu pravilnost. Izmjerili bi promjer - liniju koja spaja dvije točke na krugu prolazeći kroz središte kruga. Izmjerili bi opseg - dužinu koju bi dobili kada bi izravnali kružnicu u liniju. Omjer opsega i promjera kruga uvijek je bio oko 3. Bez obzira na veličinu kruga. Postoje pisani tragovi iz Babilona i Egipta, još iz 1900. godine prije Krista, iz kojih je vidljivo da su znali za ovaj omjer i procijenili da iznosi 25/8 (3.125).
Arhimed, poznati matematičar iz antičke Grčke, napravio je sljedeći veliki korak. Osmislio je novu metodu mjerenja, zapravo algoritmički pristup koji se bazirao na mjerenju stranica poligona. Poligon je samo 2D oblik koji se sastoji od određenog broja linija. Ime poligona govori nam koliko stranica (ili kutova) poligon ima. Tako trokut ima 3, četverokut 4, peterokut 5, itd. Arhimed je opisao šesterokut oko kruga i upisao šesterokut unutar tog istog kruga. Znao je da vrijednost opsega kruga mora biti između vrijednosti opsega ta dva poligona. Zatim je duplao broj stranica poligona na 12, 24, 48 i na koncu 96. Koristeći poligon s 96 strana, izračunao je opseg i promjer kruga te na temelju toga dobio pi. Ovom metodom dobio je da je vrijednost broja pi između 3.1408 i 3.1429. Prilično blizu!
Možemo dobiti Pi opisivanjem pologona oko kružnice i upisivanjem unutar kružnice
Ako vas zanima više o ovome konceptu, preporučujemo odličnu vizualizaciju na stranici Wolfram Alfa gdje možete vidjeti kako se povećanjem strana poligona približavamo pravoj vrijednosti broja pi.
Novi pravci u matematici te pojava računala, omogućili su brže i preciznije računanje broja pi. Danas znamo čak 22.4 trilijuna znamenki (!!!) uz pomoć genijalnih algoritama i sve jačih procesora. No, iako zanimljivo, zapravo nam dodatna preciznost ne znači ništa. NASA na primjer, za potrebe svojih izračuna zaokružuje pi na 15 znamenki. Da bi izračunali opseg vidljivog svemira (polumjer je oko 46 milijardi svjetlosnih godina) treba nam samo 40 znamenki broja pi da bi dobili toliko precizan rezultat da je pogreška mjerenja jednaka promjeru najmanjeg atoma (H). To je impresivno!
Nekoliko zanimljivosti o broju Pi
Pi nikad ne možemo izraziti kao razlomak, jedan cijeli broj kroz drugi. To znači da je iracionalni broj. I zaista, ide zauvijek bez ponavljajućih nizova znamenki. 3.14159265358979323846… Već znamo trilijune znamenki!
No kako onda možemo znati da je pi iracionalan broj i ide u nedogled? To je dokazao Johann Heinrich Lambert još u 18. stoljeću koristeći kombinaciju trigonometrije i opozicijske logike. On je također zaključio da je pi transcedentni broj. To znači da niti jedna kvadratna jednadžba (npr. x2 − 4x + 2 = 0) ne može biti riješena s brojem pi.
Pi je iracionalan broj: njegove znamenke idu u nedogled bez ponavljanja.
I iako ga danas označavamo grčkim slovom 𝛑, a zato ga i zovemo pi, to ime se pojavilo tek u 18. stoljeću. Još se naziva i Ludolfovom ili Arhimedovom konstantom. U beskonačnom nizu znamenki broja pi, možete naći bilo koju kombinaciju brojeva. Želite li provjeriti sami? Upišite svoj rođendan i pronaći ćemo gdje se točno pojavljuje u prvom milijunu znamenki broja π:
Značaj broja pi u modernoj znanosti
Kad god radimo s 2d i 3d okruglim objektima, radimo s brojem pi. Neophodan je kod izračuna volumena i površina kugli, valjaka i stožaca. Također je važan kod predviđanja rotacija bilo kojeg okruglog objekta.
Zato ima veliku važnost u astronomiji pri utvrđivanju svojstava planeta - oni su okrugli! NASA koristi pi u puno istraživačkih misija. Na primjer, pi je korišten pri modeliranju distribucije mjesta slijetanja rovera na Mars. Ima važnu ulogu i pri utvrđivanju jesu li novootkriveni planeti pogodni za život. Da bi bili pogodni za život (kakav poznajemo) trebaju biti na optimalnoj udaljenosti od zvijezde, ne predaleko, ne preblizu. Pomoću formule koja uključuje i pi, znanstvenici mogu odrediti približan položaj planeta i je li u nastanjivom području. I pri određivanju udaljenosti među zvijezdama koristi se ova posebna granu geometrije, “sferna geometrija” koja u velikoj mjeri koristi broj pi.
Osim u geometriji, pi se koristi i u statistici i teoriji brojeva. Stvarno smo okruženi njime!
A sada na aktivnost! Probat ćemo dobiti približnu vrijednost broja pi koristeći najjednostavniju moguću metodu. Svrha je samo bolje razumjeti što pi uopće predstavlja. Mislimo da ćete odsad zauvijek zapamtiti formulu za opseg kruga!
Potrebni materijali za demonstraciju Pi
Sve što nam je potrebno su karton, šestar, ravnalo, škare, vuna i krojački metar
- Karton
- Šestar
- Ravnalo
- Škare
- Vuna
- Krojački metar
Bez obzira na to koliko je krug velik ili malen, koliki će biti omjer njegova opsega i promjera?
Pogodi, a zatim dodirni odgovor i provjeri!
Upute za provođenje demonstracije Pi
Možete pogledati video na početku članka o jednostavnoj demonstraciji broja pi. Ako ipak preferirate čitanje, nastavite s uputama koje slijede.
- Uzmite komad kartona i uz pomoć šestara nacrtajte krug.
- Izrežite krug škarama.
- Povucite liniju tako da spaja dvije točke na krugu prolazeći kroz središte kruga - to je promjer kruga. Izmjerite ga i zapišite vrijednost.
- Uzmite komad vune i izmjerite dužinu koja je potrebna da u potpunosti obiđe krug. To je opseg kruga.
- Ponovite ovaj proces s nekoliko krugova različitih veličina.
- Izračunajte omjer opsega i promjera. Je li blizu 3? Trebao bi biti 3.14159… To je pi! Vjerojatno nećete dobiti toliko precizan rezultat zbog pogreške mjerenja, no trebao bi biti blizi.
- Je li vam sad jasnija formula za opseg kruga? O = 2r * pi! Nadamo se da ćete ju odsad lakše zapamtiti.
Opseg je malo više od tri promjera: to malo više je upravo pi.
Bez obzira na veličinu kružnice, uvijek ćemo dobiti (približan) Pi
Što ćete naučiti i koje vještine ćete razvijati demonstrirajući Pi
- Intuicija za formulu opsega kruga
- Što je pi
- Što su iracionalni brojevi
- Gdje se pi koristi
- Matematika je zabavna!
Najvažnije ukratko
- Pi (π) je omjer opsega bilo kojeg kruga i njegova promjera - uvijek oko 3.14. - Taj je omjer isti za svaki krug, velik ili malen, zbog čega je pi konstanta. - Pi je iracionalan broj: njegove znamenke idu u nedogled bez ponavljanja. - Antički matematičari poput Arhimeda procjenjivali su pi pomoću poligona; danas računala znaju trilijune znamenki. - Pi je neophodan gdje god se pojavljuju krugovi i kugle - od geometrije do NASA-inih svemirskih misija.
Često postavljana pitanja
Što je pi jednostavnim riječima?
Pi (π) je broj koji dobijete kad opseg bilo kojeg kruga (duljinu oko njega) podijelite s njegovim promjerom (duljinom preko njega). Uvijek je oko 3.14 i isti je za svaki krug, bez obzira na to koliko je velik ili malen.
Zašto je pi uvijek oko 3.14?
Zato što svaki krug ima isti oblik, samo povećan ili smanjen. Opseg je uvijek malo veći od tri puta promjera pa dijeljenje jednog s drugim uvijek daje isti broj, a to je pi.
Koja je formula za opseg kruga?
Opseg je O = 2 × π × r, gdje je r polumjer (polovica promjera). Budući da je promjer 2r, to je isto kao da kažemo da je opseg jednak pi puta promjer.
Završava li pi ikada?
Ne. Pi je iracionalan broj, što znači da njegove znamenke idu u nedogled bez ikad ponovljenog uzorka. Izračunat je na trilijune znamenki, ali se nikad ne može ispisati točno.
Tko je otkrio pi?
Ljudi su taj stalni omjer primijetili prije više tisuća godina - Babilonci i Egipćani procijenili su ga oko 1900. g. pr. Kr. Grčki matematičar Arhimed prvi ga je strogo izračunao pomoću poligona, zbog čega se pi ponekad naziva Arhimedovom konstantom.
Zašto je pi važan u znanosti?
Pi se pojavljuje u svakom izračunu s krugovima, kuglama, valjcima ili rotacijom - od površine kotača do orbite planeta. NASA koristi pi za planiranje putanja letjelica, pa čak i za procjenu mogu li udaljeni planeti podržati život.
Pojedite pitu, zaslužili ste! Šalu na stranu, nadamo se da ste uživali u istraživanju fantastičnog broja pi. Ako vas zanima još matematike, pogledajte kako napraviti i riješiti Hanojski toranj. Ili se bacite na programiranje uz Scratch! 14. ožujka (službeni Pi dan) je i rođendan Alberta Einsteina, pa njemu u čast provedite bar jedan eksperiment iz fizike. Mi predlažemo da probate zgnječiti limenku pomoću vakuuma.
